미분과 적분을 쉽게 이해하기-2

크기가 변하는 정사각형 S가 있습니다
여기서 변하는 면적을 d하면(매우 작게 잘라 내면) S를 d했다고 dS로 표현합니다

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정사각형의 d​S를 예측해 봅니다 : 상대방(정사각형)의 변화를 예측해 보는 것입니다

이는 내 변화에 무언가를 곱해 예측해 보는 것입니다

​변화 유발자를 찾아보겠습니다
x축과 y축의 각각의 길이 x의 제곱이 면적 S이므로
면적 S(상대방)를 변화시키는 것은 길이 x(나)의 제곱이므로 변화 유발자는 x이고 내 변화는 dx입니다

위의 그림에서 ​몇 배​를 의미하는 "?"를 알고자 합니다
상대방의 변화는 내 변화의 몇 배?..

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아래 그림에서 잘라낸 d(x²)을 펴면, 내 변화 dx에 2x를 곱한 것과 같음을 알 수 있습니다

꺾어지는 부분은 미세하므로 생략이 가능합니다

(상대방 변화) = ? (내 변화) = 몇배 (내 변화) 

d(S) = ? (dx)

d(x²) = 2x dx

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"2x"는 x²의 미분이라고 수학에서 정의했으며,

내 변화 dx의 "몇 배"에 해당합니다

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S(=x²)를 x로 미분하라! => 의미는 => 내 변화의 몇 배인지를 구하라

위 그림을 보면,
d(x²) = 2x dx 
면적을 d 한것은 거리 x에 2x를 곱한것과 같다는 뜻입니다

 

아래 두 개의 문제들은 위의 미분과 비교할 때 변화 측면에서 큰 차이가 있지만

개념이 일맥상통하므로 풀어보면서 그림으로 미분에 대한 이해를 더 했으면 좋겠습니다

 

문제 1) 16의 제곱은 15의 제곱보다 얼마나 큰 수일까?

            2 X 15 + 1 = 31

        변화유발자 x의 dx는 매우 작지는 않은 "1" 이네요..

문제 2) 100.01의 제곱은 10000보다 얼마나 큰 수인가?

        100의 제곱에 변화량이 0.01 이므로, 문제 1처럼 그림을 상상하면서..

        2 x 100 x 0.01= 2
        물론 계산기로 눌러 보면 오차가 생기는 것이, 변화량이 0.1로 무한하게 작지는 않기 때문입니다

 

깨봉수학을 보고 공부한 내용을 정리해 보았습니다