직류회로 정리, 문제-5

이번에는 수학적인 내용이 들어가므로 부담스러울 수 있겠습니다만
이러한 문제들이 있다는 정도만 알아도 좋기에 다뤄봅니다

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문제 1) 아래 회로에서 10옴의 저항을 통과하는 전류 I가 최소가 되는 저항 r의 크기를 구하시요

60옴의 저항은 10옴에서 오는 전선이 어디에 연결되는가에 따라 윗쪽으로 60-r의 저항이 되고
아랫쪽으로 r의 저항이 되는 구조입니다

(이렇게 저항을 바꿀 수 있는 것을 가변저항이라고 부르고, 10옴에서 오는 전선의 끝이 60옴 저항의 맨 윗부분부터 아랫 부분까지 어디든 연결될 때 저항의 길이가 차이가 나므로 연결된 위 아래 부분의 저항 값이 각각 변하게 됩니다)

따라서 병렬연결된 저항이 되며, 이 병렬저항의 합성저항이 최대가 되면 10옴 저항을 통과하는 전류는 최소가 됩니다

병렬연결 저항의 합성저항을 구해보면

R = r(60-r) / (r + (60 - r))

= r(60-r) / 60

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총 저항 Rtotal은

Rtotal = 10 + r(60-r) / 60 = 10 + (60r - r²) / 60

= -r²/60 + r + 10

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이차함수의 최대값을 생각하면

y = ax² + bx + c

a가 음수일 때 위로 볼록한 그림이 됩니다

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볼록한 꼭지점은 미분하여 0이 되는 점이므로, r에 대하여 Rtotal 을 미분해 보면

상수 10은 0이 되고, r은 1, r²은 2r이 되므로

dRtotal / dr = -r/30 + 1 = 0

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따라서

1 = r/30

r = 30 Ω

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문제 2) R=1옴 일 때 저항이 다음과 같이 무한히 연속된다. a와 b 사이의 합성저항은?

연속적으로, 또 무한히 저항이 직렬, 병렬로 연결된 회로의 합성저항은 근사법을 이용해 풀어야 합니다

근사법이란 아래 그림처럼 c와 d노드를 잡고, Rcd가 Rab와 크기가 거의 같다고 보는 것입니다

(Rab는 a에서 b까지의 저항을, Rcd는 c에서 d까지의 저항을 표현한 것입니다)

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a와 b노드의 오른쪽 전부를 더한 저항이나

c와 d노드의 오른쪽 전부를 더한 저항이나 무한히 반복된다면 무슨 차이가 있겠습니까?

이래서 근사법을 이용할 수 있습니다

따라서 a, b와 c, d노드 사이에 있는 세 개의 R 저항들만 계산하면 됩니다

a에서 b까지 저항을 생각하면 수평으로 놓인 두 개 저항 R은 직렬연결이므로 그냥 더해 2R이되고

수직저항R과 Rcd가 병렬로 연결됩니다

따라서 두 개의 직렬저항과 그 사이에 놓인 R과 Rcd의 병렬저항의 합이 Rab가 됩니다

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Rab = 2R + R Rcd / (R + Rcd)

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여기서 Rcd와 Rab가 같다고 보고, Rab로 바꿔 문제를 풉니다

Rab = 2R + RRab / (R + Rab)

        = { 2R(R+Rab) + RRab } / (R + Rab)

        = (2R² + 2RRab + RRab ) / (R + Rab)

        = (2R² + 3RRab ) / (R + Rab)

양 변을 정리하면,

Rab² - 2RRab -2R² = 0

이차함수의 근의 공식을 대입해 풀면,

Rab = (2R ± √(12R²)) / 2

= R(1 ± √3)

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위에서 √는 루트(root) 표시입니다

 

R은 문제에서 1Ω이라고 했고, 저항이 음수일 수 없으므로 (-)를 빼면,

Rab = 1+ √3 Ω