미분과 적분을 쉽게 이해하기-3

아래는 바로 전, 미분과 적분을 쉽게 이해하기-2에서 정리했던 내용입니다
2차원 정사각형 S = x²을 d하면, 보이는 변화는 내 변화의 몇 배..?

"몇 배(?)"를 알려면 아래와 같이 보이는 변화 dS를 내 변화 dx로 나눠주면 " 몇 배"를 찾게 된다

dS/dx가 "몇 배"가 된다

​

이제까지 2차원 정사각형으로 미분을 살펴 보았는데, 이제부터 여러 차원의 도형으로 확장시켜 봅니다

일단, 차원이란 움직이는 방향의 갯수입니다

​

점은? 0차원, 움직이지 않습니다

선은? 1차원, 한 방향으로만 움직입니다

면은? 2차원, 두 방향으로 움직입니다 (양 옆으로)

공간은? 3차원, 세 방향으로 움직입니다 (위로 아래로 옆으로..)

​

3차원의 크기가 변하는 큐브로 미분을 생각해 봅니다

x, y, z 방향으로 아래 그림처럼 크기가 변합니다

각각의 변이 x만큼 변한다고 할 때 x가 변화유발자이며 아래 3과 5로 표시되었습니다 (지수 3은 아니고..)

위와 같이 변하는 큐브에 대해서 2차원에서 했던 것처럼 d를 합니다

그리고 이것을 다시 압축하게 되면(dx로 나누면) 세 개의 면( 3x²)만 남게 됩니다

따라서 큐브 x³을 d해서 변화를 꺼내고, 이것을 dx로 압축(나누면)하면 세 개의 면 3x² 이라는 "몇 배" 값을 얻을 수 있습니다

d하고 이를 다시 dx로 나누면 dx라는 두께가 거의 없는 세 개의 면만 남습니다

 

따라서 3차원 큐브에 대한 미분을 정리해 보면,

큐브 x³을 미분하면 면적 x²인 면이 세 개(3x²)​ 나오는데

이는 큐브가 3차원(세 방향)으로 변하기 때문이다

​

n차원에 대해서 개념을 확장시켜 보면,

"n"개의 "n-1"차원이 발생하게 된다

​

2차원의 변하는 면(x²)은
n-1차원이 1차원이므로 미분하면 1차원인 선이 두 개(2x) 남는 것이고

1차원의 변화하는 선(x)의 경우,
0차원인 점(숫자)만 하나 남는다

물론 0차원의 점은 변하지 않으므로 남는 것이 없다

​

깨봉수학에서 공부한 내용을 정리해 보았습니다