x²을 9에서 100까지 적분해 보자 아래와 같이 색깔 매칭하여 1), 2)​, 3)번으로 구분해 표현할 수 있어야 한다 9에서 100까지이므로 100 - 9 = 91이 답이 된다 변화하는 것이 무엇이든지 아래와 같이 적용된다 위 1), 2), 3)번에서 한 것처럼 따라 해 보면 답을 구할 수 있다 예를 들어 x³에 대한 적분을 하면, 1) x³이 변하는데, 2) 27에서 125까지 변하며, 3) 변화를 꺼내서 모두 합하면.. 125 - 27 = 98이 된다 ∫ 다음에 나오는 d의 괄호() 안에 무엇이 들어 있든지 관계없이 범위가 변하는 구역을 구하면 답이 됨을 알 수 있다 범위가 주어진 적분에서는 변하는 것들만 모으는 것이므로 변하지 않는 성분인 적분상수C는 필요가 없다 범위가 정해진 적분을 정적분, ..

2x를 적분하라! 그러면 미분해서 2x를 만드는 것이 무엇인가? ​ 적분이란, 앞에서 살펴보았던 미분했던 프로세스를 거꾸로 돌리면 됩니다 엄마를 미분하면 자식이 나오고, 자식을 적분하면 엄마가 나온다 ​ d의 반대가 되는 행위를 적분 ∫ (integral)로 표시하며 적분은 미분하는 방법을 이용하면 쉽게 얻어지게 됩니다 ​ 2x를 적분하려면, 아래 그림의 우측에서 순서대로 좌측으로 수행하면 됩니다 "몇 배인 2x"에 "내 변화인 dx"를 곱한 "상대방의 변화인 2xdx"를 모두 모으면(∫) 적분인 동시에 답이 된다 물론 여기서 2xdx는 d(x²)이므로 ∫과 d가 서로 충돌해 없어지고 남는 x²이 답이다 ​ 이제 연습문제를 가지고 복습을 해 보겠습니다 연습문제) 3x²을 적분하라 위 그림에서 노란색 음영..

미분과 적분은 변화에 대한 수학입니다 복잡하게 변화하는 것은 간단하고 쉬운 변화로 만들어야 쉽습니다 더하기와 곱하기로 구성된 식에 대해 미분을 어찌 할 수 있는지 알아보겠습니다 앞에서 정리했던, 큐브나 한 면에서 변화를 끄집어 냈던 그림을 기억해 보면 아래와 같이 별과 동그라미가 덧셈, 곱셈의 경우에 괄호에 넣고 빼고가 자유로움을 알 수 있습니다 d의 합과 곱은 각개격파가 가능함을 그림으로 이해해 보았습니다 1) 위에서 배운것을 확인하기 위해, 더하기로 구성된 다음 식을 미분해 보겠습니다 일단 식을 익숙한 형태로 바꾸고, 위에서 배운 성질을 이용해서 풀어보면, 숫자는 1차원이므로 d를 하면 0이 되니 없애고, 5x³은 5를 밖으로 뺄 수 있으므로 x³만으로 미분 계산하고 다시 곱하면 되며.. ​ 2) 이..

아래는 바로 전, 미분과 적분을 쉽게 이해하기-2에서 정리했던 내용입니다 2차원 정사각형 S = x²을 d하면, 보이는 변화는 내 변화의 몇 배..? "몇 배(?)"를 알려면 아래와 같이 보이는 변화 dS를 내 변화 dx로 나눠주면 " 몇 배"를 찾게 된다 dS/dx가 "몇 배"가 된다 ​ 이제까지 2차원 정사각형으로 미분을 살펴 보았는데, 이제부터 여러 차원의 도형으로 확장시켜 봅니다 일단, 차원이란 움직이는 방향의 갯수입니다 ​ 점은? 0차원, 움직이지 않습니다 선은? 1차원, 한 방향으로만 움직입니다 면은? 2차원, 두 방향으로 움직입니다 (양 옆으로) 공간은? 3차원, 세 방향으로 움직입니다 (위로 아래로 옆으로..) ​ 3차원의 크기가 변하는 큐브로 미분을 생각해 봅니다 x, y, z 방향으로 ..

크기가 변하는 정사각형 S가 있습니다 여기서 변하는 면적을 d하면(매우 작게 잘라 내면) S를 d했다고 dS로 표현합니다 ​ 정사각형의 d​S를 예측해 봅니다 : 상대방(정사각형)의 변화를 예측해 보는 것입니다 이는 내 변화에 무언가를 곱해 예측해 보는 것입니다 ​변화 유발자를 찾아보겠습니다 x축과 y축의 각각의 길이 x의 제곱이 면적 S이므로 면적 S(상대방)를 변화시키는 것은 길이 x(나)의 제곱이므로 변화 유발자는 x이고 내 변화는 dx입니다 위의 그림에서 ​몇 배​를 의미하는 "?"를 알고자 합니다 상대방의 변화는 내 변화의 몇 배?.. ​ 아래 그림에서 잘라낸 d(x²)을 펴면, 내 변화 dx에 2x를 곱한 것과 같음을 알 수 있습니다 꺾어지는 부분은 미세하므로 생략이 가능합니다 (상대방 변화)..

미분과 적분을 쉽게 설명하는 분이 있어서 그 분의 설명을 보고 정리해 보았습니다 (깨봉 선생님) ​ 3그루의 대나무가 있는데, 이 중에서 어떤 녀석이 빨리 크는지 예상해봅시다 첫 날 측정해 보니, 하루에 1번은 20cm, 2번은 30cm, 3번은 15cm 자랐다 둘째 날 측정해 보니, 하루에 각각 22cm, 31cm, 18cm 자랐다 ​ 첫 날과 둘째 날을 종합해 생각해 보면, 1번은 첫 날보다 2cm가 더 자랐고, 2번은 1cm가 더 자랐으며, 3번은 3cm가 더 자랐다 따라서 그 다음 날은 3번이 더 많이 자랄 것이라고 대략 예측할 수 있다 ​ 하루라는 시간은 어찌 보면 꽤 긴 시간이고 1시간, 혹은 1분, 혹은 1초, .. 등으로 그 간격을 줄여가면 바로 전의 변화량을 알 때 그 다음의 변화량을 매..