미분과 적분을 쉽게 배워보기-6

x²을 9에서 100까지 적분해 보자

 

아래와 같이 색깔 매칭하여 1), 2)​, 3)번으로 구분해 표현할 수 있어야 한다

9에서 100까지이므로 100 - 9 = 91이 답이 된다

변화하는 것이 무엇이든지 아래와 같이 적용된다

위 1), 2), 3)번에서 한 것처럼 따라 해 보면 답을 구할 수 있다

예를 들어 x³에 대한 적분을 하면,

1) x³이 변하는데, 2) 27에서 125까지 변하며, 3) 변화를 꺼내서 모두 합하면.. 125 - 27 = 98이 된다

∫ 다음에 나오는 d의 괄호() 안에 무엇이 들어 있든지 관계없이 범위가 변하는 구역을 구하면 답이 됨을 알 수 있다

범위가 주어진 적분에서는 변하는 것들만 모으는 것이므로 변하지 않는 성분인 적분상수C는 필요가 없다

범위가 정해진 적분을 정적분, 범위가 정해지지 않은 적분을 부정적분이라 부른다

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응용문제 1) 다음 적분을 하여라

일단 바로 위에서 풀었을 때는 ∫과 d() 사이에는 아무것도 없었다, 하지만 아래는 ∫과 d(x) 사이에 2x가 있음을 주의해 보라

위와 다르게 1), 2), 후에 3) 변화들의 "몇 배"를 하라가 추가되어 4)까지 간다

변화들의 몇 배를 하라는

2xdx가 x²을 미분한 것이므로,

2xdx = d(x²) 으로 표현할 수 있고,

다시 위에서처럼 1), 2), 3)의 순서로 정리할 수 있다

d안의 (x)에 대해서 7에서 10까지 변하고 있으며

d안의 (x²)에 대해서 7²에서 10²까지 변하는 것과 같다 (인테그랄의 변화하여 더하는 범위가 바뀌었다)

따라서 10²-7²이 답이다

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참고) 위 예시중 하나를 다시 보면,

x³의 변하는 범위가 27에서 125로 표시되어 125-27로 값을 구했지만

x의 변하는 범위 3과 5가 x³의 변하는 범위로 바뀐 것이 생략되어 표현된 것이다

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응용문제 2) 다음을 적분하라

오른쪽의 별과 그 별이 변하는 구간을 찾아내면 된다

우선 좌변에서 2x dx를 뽑아서 생각하면, 이것은 x²의 변화임을 알 수 있고

2x dx = d(x²) 이므로 아래와 같이 바꾸어 쓸 수 있다

범위도 d(x)에서 d(x²)이 되므로 x가 제곱이 되므로 √표시가 떨어졌다

여기서 cos뒤와 d뒤의 x² 두 개가 동시에 변하는 것을 볼 수 있다

또, sin을 미분하면 cos이 되기에,

이는 아래와 같이 sin(x²)의 변화임을 알 수 있다 (삼각함수의 미분에서 따로 보충하도록 하겠다)

​범위를 조정해 보자면, sin(π/2)=1, sin(π)=0 이므로

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깨봉수학을 보고 공부한 내용을 정리해 보았습니다