교류의 표현 10 - 복소수, 극형식

교류는 복소수와 극형식(극좌표)으로 자주 표현합니다

순시값은 파형을 구체적으로 나타내는데 이것을 이용해 전기현상을 계산하는 것은 매우 어렵습니다

하지만 이것을 복소수와 극좌표로 바꾼 다음에 계산을 하게 되면 아주 간단합니다

 

복소수란 실수와 허수로 이루어지며, 허수는 소문자 j를 붙여 사용합니다

통상 i를 허수에 사용하지만, 전기분야에서는 전류의 순시값을 소문자 i로 표현하기에 구분하기 위해서 j를 사용합니다

이것은 극형식으로 변환하여 활용하면 유용한 경우가 많고 복소수와 극형식을 자유자재로 변환해야 합니다

 

복소평면(실수와 허수축)에서 벡터 A와 B의 복소수 특징을 살펴봅니다

위 내용을 바탕으로 문제를 풀면서 이해해 보겠습니다

 

예문 1) 다음 복소수의 절대값을 구하시요

Z = 3 + j4

|Z| = √(3x3 + 4x4) = √(9+16) = 5

 

이번에는 공액(켤레)복소수가 무엇인지 살펴봅니다

Z = 3 + j4

벡터가 있다면 이것의 공액복소수는 실수부는 같은데 허수부의 부호가 반대인 경우를 말합니다

즉, 실수측을 기준으로 허수부 한 쪽이 다른 쪽으로 거울에 비춰진 모습입니다

켤레복소수는 벡터문자의 위에 바(-)를 붙여서 다음과 같이 표시합니다

예문 2) 다음 벡터의 공액복소수를 구하십시요

Z = 7 - j8

 

이제 복소수의 극형식 및 삼각함수형 표현에 대해 알아보겠습니다

아래와 같은 형식으로 복소수를 바꾸어 표현할 수 있습니다

극형식은 복소수의 크기와 각도를 뽑아 표시하는 것이며,

삼각함수 형태로도 표시할 수 있습니다

예문을 통해 복소수를 삼각함수형, 극형식 형으로 바꾸는 연습을 하겠습니다

 

예문 3) Z = 3 + j4 벡터를 삼각함수형 및 극형식으로 바꾸어 표시하시요

일단 크기를 구하고,

|Z| = √(3x3 + 4x4) = √(9+16) = 5

각도 θ를 구합니다

극좌표형 표현은

Z = 5 ∠53.13˚

 

삼각함수형으로 바꾸려면,

Z = |Z|(cosθ + j sinθ) 이므로

   = 5 (cos53.13 + j sin53.13)