수동소자 R, L, C 고찰-2

수동소자의 기본적 특성에 이어서 교류의 전류, 전압, 위상등의 응답 특성을 살펴보겠습니다

1) 저항, R

i(t) = Im sin ωt 라는 sine파라고 하면,

저항에 걸리는 전압은

v(t) = i(t) R = R Im sin ωt

Vmax = R Imax 이고 (sin ωt의 최댓값은 1이므로, max는 m으로 이하 표기)

v(t) = Vm sin ωt

 

 

또, Vm = R Im에서

√2 V = R √2 I 이므로

V = R I 가 됩니다 (옴의 법칙을 만족합니다)

 

참고로, 교류의 특성 중 실효값, 최대값 섹터의 내용을 다시 살펴 보면,

실효값 전류 I는 √2로 최대값 Im을 나눈 것이었습니다 (전압도 마찬가지..)

실 생활에서 사용하는 교류 220V는 순시값도 아니고 평균값도 아닌 실효값의 표현입니다

즉, 교류 220V의 최대값은 Im = 220 x √2 = 311V 입니다

교류의 크기를 숫자로 표현할 때 "실효값"이라고 이해하면 됩니다

 

i(t)와 v(t)식을 보면 모두 "sin ωt"를 포함하고 있습니다

따라서 둘 다 위상각 θ = 0˚ 이므로 진폭 Im과 Vm만 다를 뿐 두 파형은 같은 위상(동상)을 가집니다

극형식으로 나타내면, i(t) = I∠0˚, v(t) = V∠0˚

위 내용을 바탕으로 저항 R에 대한 파형과 벡터도를 그려보면 아래와 같습니다

2) 인덕턴스(코일), L

i(t) = Im sin ωt 이고

코일에 걸리는 전압은

 

 

 

 

 

 

 

sin ωt는 미분하면 --> ω cosωt가 되며 (미분공식)

cosωt는 sinωt보다 90도 빠르므로 위와 같이 위상각을 추가해 표현할 수 있습니다

 

ωL Im = Vm  이므로

ωL √2 I = √2 V

V = ωL  I

직류 옴의법칙 V = R I 에서 R이 X로 바뀌었음을 알 수 있습니다

 

i(t)와 v(t)식을 보면 i(t) = Im sin ωt와 v(t) = ωL Im sin (ωt+90˚)로

극형식으로 바꾸어보면 i(t) = I∠0˚, v(t) = V∠90˚

이를 바탕으로 코일 L에 대한 파형과 벡터도를 그려보면 아래와 같습니다

전압을 기준으로 그렸을 때, 전압보다 전류가 90도 늦습니다(지상전류)

3) 정전용량(커패시터), C

i(t) = Im sin ωt 이고

커패시터에 대전되는 전압은

아래와 같이 전류와 커패시터 식으로 계산합니다

 

i(t) = C dV/dt

dV를 남기고 남은 부분을 이항해 양변을 적분하면

1/C i(t) dt = dV

 

Vc = 1/ ωC I = Xc I     --> I는 90도 느림

Xc = 1/ ωC

 

i(t)와 v(t)식을 보면 i(t) = Im sin ωt와 v(t) = (1/ωC) Im sin (ωt-90˚)로

극형식으로 바꾸어보면 i(t) = I∠0˚, v(t) = V∠-90˚

이를 바탕으로 커패시터 C 에 대한 파형과 벡터도를 그려보면 아래와 같습니다

전압보다 전류가 90도 빠릅니다(진상전류)

 

R과 L과 C에 대한 응답을 살펴 보았는데,

I와 V에 있어서 R은 동상(같은 위상), 코일은 전압보다 전류가 90도 늦은 지상전류,

커패시터는 전압보다 전류가 90도 빠른 진상전류로 정리할 수 있겠습니다