허수.. 보이지 않는 것을 나타냅니다

인류는 동물이나 사람을 세면서 1, 2, 3, .. 자연수를 알았다고 합니다

이후 하나도 없는 것을 생각해 내면서 0을 알게 되었고

어떤 수에 더해서 0이 되는 수를 찾게 되면서 음수를 알았다고 합니다

음수의 탄생은 은행 등에서 대단히 돈을 계산하기 편하게 해 주었습니다

 

이후 수직선을 생각하면서  크기가 있는 수는 모두 나타내는 실수가 나오게 되었는데

제곱하여 음수가 나오는 수는 없을까? 하다가 발견한 수가 허수 i입니다

 

i x i = -1

안보이는 수 두 개를 곱해서 보이는 수 -1이 되었습니다

i에 보이는 숫자를 붙여 표현하면 보이지 않는 부분까지 표시할 수 있게 된 것이지요

이로써 인류는 보이는 쪽과 안보이는 쪽을 모두 표시 가능하게 되었습니다

 

이 세상은 파동으로 이뤄졌다고들 합니다

소리와 색깔, 전파, ... 하다못해 원자에 붙어있는 전자들까지 진동수가 다른 파동을 갖는다는 것입니다

빛을 생각했을 때 빨주노초파남보가 있을 때 빨강이나 보라의 밖 영역의 파동은 적(빨강)외선 및 자(보라)외선 영역으로

인간이 볼 수 없습니다

이러한 파동은 원으로 분석하면 쉽게 설명이 되는데 이때 허수 i가 큰 역할을 하게 됩니다

 

원에서 빨간 점이 원 둘레를 따라 우에서 좌로 원운동 할 때

사람들은 이 점이 우에서 좌로 갔다가

다시 좌에서 우로 움직이는 수평 진자운동을 보게됩니다

(우측 아래 사람들의 시선을 주의!)

 

즉, 사람들이 수평인 실수축을 쳐다볼 때 수평선에서 움직이는

빨간 점만 보이게 되며

허수축 원을 따라 움직이는 모습은 볼 수 없습니다

 

이러한 운동은 우측그림의 원 아랫쪽으로 시간에 따라 축을 만들 때

파란색 선처럼 정현파(sine wave) 운동을 하게 됩니다

앞으로 자주 보게 될, 시간에 따른 I, V 곡선은(전류, 전압 곡선)

우측의 단위원 아랫쪽 방향으로 그려진 파란색 정현파 선을

시계 반대방향으로 90도 이동시킨 것입니다

 

전기는 주로 교류를 사용하게 되는데

교류는 사인커브를 가지고 있으며

(자석을 원운동시켜 전기를 생성하기에 사인커브를 보입니다)

사인커브는 복소수를 이용하면

해석하고 처리하는데 대단히 유용합니다

 

이러한 이유로 전기를 학습하는데는

허수가 포함된 복소수가 필수라고 할 수 있습니다  

또한 수학의 i는 전기에서 교류 i와 기호가 같으므로 대신 j를 씁니다

 

허수 i의 성질에 대해 좀 더 알아보겠습니다

단위원(반지름이 크기 1)을 기초로 생각할 때

x의 제곱이 i가 되는 수는 무엇일까요?

x x = i

i는 크기 1의 x축을 90도 만큼 반시계 방향으로 회전시킨 것입니다

따라서 

1∠45를 두 번 좌측으로 회전하면 1∠90 이 되므로

두 번 곱해서(더해서) i가 되는 x는 1∠45입니다

 

복소수에서 1∠45 = 1/√2+1/√2 i 이므로

1/√2+1/√2 i 를 제곱하면 1∠90 = i 가 됩니다

복소수의 곱은 극좌표에서 덧셈, 나누기는 극좌표에서 뺄셈이 되니까요..

 

물론 위의 x값은 1∠45 만이 아닙니다

180도를 여기에 더해도 두 번 곱하면 i가 나오므로 역시 답이 됩니다

 

덧붙여 1∠45 = 1/√2+1/√2 i 는

보이는 부분이 1/√2, 안보이는 부분이 1/√2 i 입니다

보이는 부분은 빗변길이 1인 45도 직각삼각형에서 코사인값이 되고

안보이는 부분은 같은 삼각형에서 사인값이 됩니다

 

결국, 교류전기의 저항에서 실수분은 R에 관계된 부분이고 허수분은 인덕턴스 및 커패시턴스 관계된 부분으로 표시됩니다

이어서 인덕턴스 및 커패시턴스를 포함한 RL회로, RC회로, RLC회로의 저항 Z(임피던스)를 다루도록 하겠습니다